Producción - Modelos con razonable grado de dificultad - Problema 10 de 10 - Investigación de Operaciones

Problema 10: Producción

Considere el problema de programación de la producción de un conjunto de m tipos diferentes de artículos para los próximos n meses en una fábrica. 

En cuanto al uso de materias primas, el costo de producción de cada artículo de tipo i se estima en c_i .

La producción de un artículo tipo i requiere mo_i horas de mano de obra, disponiendo la fábrica de h_j horas de mano de obra durante el mes j . En ciertos meses, la fábrica puede emplear horas extras para aumentar sus recursos de mano de obra. En general, se puede denotar por st_j la cantidad máxima de horas extras disponibles en el mes j , cada una de las cuales tiene un costo unitario de cst.

La demanda de artículos tipo i en el mes j se estima en d_ij, las cuales necesariamente deben ser satisfechas.

El exceso de producción puede ser almacenado a un costo mensual unitario de s. Existe capacidad para almacenar un volumen máximo de v , pudiéndose representar por v_i el volumen de un artículo de tipo i . Políticas de producción exigen que al final del período bajo consideración exista un inventario mínimo de si unidades de artículos tipo i.

Formule un modelo de programación lineal que permita planificar la operación de la fábrica durante los próximos n meses de forma tal de minimizar el costo total.

Solución:

Supongamos que se trabaja por lo menos el total de horas hj de cada mes, nunca menos.

1. Definición de las variables de decisión:

X_ij : Cantidad de artículos tipo i =1,...,m producidos en mes j =1,...,n .

Z_j : Cantidad de mano extra empleada en mes j =1,...,n .

V_ij : Cantidad de artículos tipo i =1,...,m almacenados en mes j =1,...,n .

2. Elaboración de la función objetivo:

3. Formulación de las restricciones tecnológicas:

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Compra - Modelos con razonable grado de dificultad - Problema 9 de 10 - Investigación de Operaciones

Problema 9: Compra

Una empresa de arriendo de vehículos desea establecer la flota de automóviles, camionetas y jeeps para el presente año. Para tales efectos, estudia la adquisición de vehículos de los tres tipos. Todos los vehículos comprados son depreciados y pagados en un período de 2 años, después del cual son vendidos. La tabla siguiente muestra el precio de compra y los ingresos del período para los tres tipos de vehículos (los ingresos para el segundo año incluyen el valor de salvataje).

Aún cuando la empresa puede pagar el costo de los vehículos inmediatamente, puede también decidir diferir parte del costo de los vehículos al final del primer o segundo año. El costo del crédito es de 14% anual. La empresa debe pagar por lo menos el 20% de la inversión inicial al recibir un vehículo y por lo menos el 50% de la inversión inicial más los intereses del crédito deben haber sido pagado al final del primer año. La empresa dispone de US$2000000 para la compra de vehículos este año. La compañía usa una tasa de descuento del 15% para efectos de financiamiento (es decir, US$100 hoy valen US$85 dentro de un año). Todo excedente en cualquier año es invertido en otros rubros y, por lo tanto, no puede considerarse en pagos futuros.

Formule un modelo de programación lineal para el problema. Defina claramente variables, función objetivo y restricciones.

Solución:

1. Definición de las variables de decisión:

X_i : Cantidad de vehículos tipo i = 1,2,3 comprados inicialmente.

Y_ij : Dinero pagado en vehículos tipo i = 1,2,3 al inicio del año j = 1,2,3.

Z_ij : Saldo al inicio del año j 1,2,3 en vehículos tipo i =1,2,3.

Constantes:

C_i : Costo del vehículo del tipo i =1,2,3 .

I_ij : Ingresos por vehículo del tipo i =1,2,3 durante el año j =1,2,3 .

2. Elaboración de la función objetivo:

3. Formulación de las restricciones tecnológicas:

Espero haber ayudado en algo. Hasta la próxima oportunidad!

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Inversión - Modelos con razonable grado de dificultad - Problema 8 de 10 - Investigación de Operaciones

Problema 8: Inversión

Un inversionista tiene oportunidad de realizar las actividades A y B al principio de cada uno de los próximos 5 años (llámense años 1 al 5). Cada dólar invertido en A al principio de cualquier año retribuye $1.40 (una ganancia de $0.40) 2 años después (a tiempo para la reinversión inmediata). Cada dólar invertido en B al principio de cualquier año retribuye $1.70, 3 años después.

Además, la actividad C estará disponible para inversión una sola vez en el futuro. Cada dólar invertido en C al principio del año 2 da $1.90 al final del año 5. La actividad D estará disponible sólo 2 veces, al inicio del año 1 y del año 5. Cada dólar invertido en D al principio de año retribuye $1.30 al final de ese año. El inversionista tiene $60000 para iniciar y desea saber cuál plan de inversión maximiza la cantidad de dinero acumulada año principio del año 6.

Formule el modelo de programación lineal para este problema.

Solución:

La situación se puede ilustrar gráficamente como:

Las líneas segmentadas indican el término del año en curso y el inicio del año siguiente. Las flechas representa la duración de cada una de las inversiones, antes de obtener los retornos. 

Se debe considerar que al inicio de cada año sólo se puede destinar a inversión el dinero proveniente de inversiones que terminan en ese momento, o bien que sean excedentes del período inmediatamente anterior.

Objetivo: Maximizar utilidades al final del quinto año.

1. Definición de las variables de decisión:

X_ij : Cantidad invertida de tipo i = A, B,C,D al inicio del año j = 1,2,3,4,5

Z_j : Excedente no invertido al inicio del año j = 1,2,3,4 .

2. Elaboración de la función objetivo:

3. Formulación de las restricciones tecnológicas:

Espero haber ayudado en algo. Hasta la próxima oportunidad!

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Producción - Modelos con razonable grado de dificultad - Problema 7 de 10 - Investigación de Operaciones

Problema 7: Producción

Un pequeño taller arma dispositivos mecánicos, ya sea como un producto terminado que entrega al mercado, o como un proceso intermedio para entregar a una gran fábrica. Trabajan 3 personas en jornadas de 40 horas semanales. Dos de estos obreros no calificados reciben $0.4 por hora, y el tercero, un obrero calificado, recibe $0.6 por hora. Los tres están dispuestos a trabajar hasta 10 horas adicionales a la semana con un salario 50% superior durante este período.

Los costos fijos semanales son de $800. Los gastos de operación variables son de $1.0 por hora de trabajo de obrero no calificado y $2.4 por hora de obrero calificado. Los dispositivos mecánicos sin acabar son vendidos a la planta a $6.5 cada uno. El taller tiene un contrato bajo el cual debe entregar 100 de estos dispositivos semanalmente a la empresa. El dueño del taller tiene como política el producir no más de 50 dispositivos a la semana por sobre el contrato.

Los dispositivos terminados se venden a $15 cada uno sin restricciones de mercado. Se requieren 0.5 horas de obrero no calificado y 0.25 horas de obrero calificado para producir un dispositivo sin acabar listo para entregar a la empresa. Uno de estos dispositivos puede ensamblarse y dejarlo terminado agregándole 0.5 horas de trabajador calificado. 

Un dispositivo acabado listo para entregar al mercado se puede producir con 0.6 horas de obrero no calificado y 0.5 horas de obrero calificado.

Plantear el modelo de programación lineal que permita responder la consulta: ¿cómo y cuánto producir para cumplir el contrato de modo de maximizar las utilidades?

Para la formulación del problema, supondremos que los obreros trabajan 40 horas

semanales.

Solución:

1. Definición de las variables de decisión:

X_i : Cantidad de productos tipo i = 1,2,3 fabricados.

Z_j : Horas extra trabajadas por obreros del tipo j = 1,2 .

2. Elaboración de la función objetivo:

3. Formulación de las restricciones tecnológicas:

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Mezcla - Modelos con razonable grado de dificultad - Problema 6 de 10 - Investigación de Operaciones

Problema 6: Mezcla

Un proveedor debe preparar con 5 bebidas de fruta en existencias, al menos 500 galones de un ponche que contenga por lo menos 20% de jugo de naranja, 10% de jugo de toronja y 5% de jugo de arándano. Si los datos del inventario son los que se muestran en la tabla siguiente ¿Qué cantidad de cada bebida deberá emplear el proveedor a fin de obtener la composición requerida a un costo total mínimo?

Nota: Las tres primeras columnas indican el porcentaje de un tipo de jugo dentro de una determinada bebida.

Solución:

1. Definición de las variables de decisión:

El objetivo es minimizar los costos cumpliendo todos los requisitos. Para esto definimos las siguientes variables

X_i : Cantidad de bebida i en galones incorporada al ponche i = A, E

Y las siguientes constantes

C_i : Costo por galón de bebida tipo i .

N_i : Porcentaje de jugo de naranja en bebida tipo i .

T_i : Porcentaje de jugo de toronja en bebida tipo i .

A_i : Porcentaje de jugo de arándano en bebida tipo i .

E_i : Existencia de bebida tipo i

2. Elaboración de la función objetivo:

3. Formulación de las restricciones tecnológicas:

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Renta - Modelos con razonable grado de dificultad - Problema 5 de 10 - Investigación de Operaciones

Problema 5: Renta

Una compañía de seguros cree que necesitarán las siguientes cantidades de computadoras personales durante los próximos seis meses: enero, 9; febrero, 5; marzo, 7; abril, 9; mayo,10; junio,5. Se pueden rentar computadoras por un período de uno, dos o tres meses, a las rentas unitarias siguientes: renta por un mes, 200 dólares; renta por dos meses, 350 dólares; renta por tres meses, 450 dólares.

Formule un PL que permita minimizar los costos de renta de computadoras requeridas.

Puede suponer que si se renta una máquina por un período que se prolongue más allá de junio, habrá que promediar el costo de la renta. Por ejemplo, si se renta una computadora por tres meses, a principios de mayo, entonces se tendrá que aplicar una cuota por la renta 2/3(450)=300 dólares, y no 450 dólares, a la función objetivo.

Solución:

1. Definición de las variables de decisión:

E_i : Número de computadoras a alquilar en el mes de Enero durante i =1,2,3

meses.

F_i : Número de computadoras a alquilar en el mes de Febrero durante

i =1,2,3 meses.

M_i : Número de computadoras a alquilar en el mes de Marzo durante i =1,2,3 meses.

A_i : Número de computadoras a alquilar en el mes de Abril durante i =1,2,3 meses.

MY_i : Número de computadoras a alquilar en el mes de Mayo durante i =1,2,3 meses.

J_i : Número de computadoras a alquilar en el mes de Junio durante i =1,2,3 meses.

2. Elaboración de la función objetivo:

3. Formulación de las restricciones tecnológicas:

4. Modelo Lineal:

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Producción - Modelos con razonable grado de dificultad - Problema 4 de 10 - Investigación de Operaciones

Problema 4: Producción

Un consumidor requiere, durante los próximos cuatro meses, 50, 65, 100 y 70 unidades, respectivamente, de cierto artículo (no se permiten demandas pendientes). Los costos de producción son 5 dólares, 8 dólares, 4 dólares y 7 dólares por unidad, durante estos meses.

El costo de almacenaje de un mes al siguiente, es de 2 dólares por unidad (aplicado al terminar el inventario). Se estima que cada unidad sobrante al final del cuarto mes, tendrá que venderse a 6 dólares. Formule un PL que minimice los costos netos para cumplir con las demandas durante los próximos cuatro meses.

Solución:

1. Definición de las variables de decisión:

Ii : Número de unidades en el mes i =1,2,3,4 .

Pi : Número de unidades producidas en el mes i = 1,2 .

Di : Número de unidades demandadas en el mes i = 1,2,3,4 .

2. Elaboración de la función objetivo:

3. Formulación de las restricciones tecnológicas:

4. Modelo Lineal:

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Producción - Modelos con razonable grado de dificultad - Problema 3 de 10 - Investigación de Operaciones

Problema 3: Producción

La corporación Brady produce armarios. Necesitan semanalmente 90 000 pies cúbicos de madera procesada. Puede conseguir madera procesada de dos maneras.
Primero, puede comprar madera de un proveedor eterno, y después secarla en su propio horno. Segundo, puede cortar troncos en sus propios terrenos, convertidos en madera en su propio aserradero y, finalmente, secar la madera en su propio horno. Brady puede comprar madera clase 1 o clase 2. La madera clase 1 cuesta 3 dólares/pie cúbico y produce 0.7 pie cúbico de manera útil luego de secarla. La madera clase 2 cuesta 7 dólares/pie cúbico y produce 0.9 pie cúbico de madera útil ya seca. Le cuesta 3 dólares a la compañía cortar un tronco. Después de cortarlo y secarlo, un tronco produce 0.8 pie cúbico de madera. Brady incurre en un costo de 4 dólares/pie cúbico de madera seca. Cuesta 2.50 dólares/pie cúbico procesar troncos en el aserradero. El aserradero puede procesar semanalmente hasta 35 000 pie cúbico de madera. Se puede comprar cada semana hasta 40 000 pies cúbicos de madera de clase 1, y hasta 60 000 pies cúbicos de madera de clase 2.
Semanalmente, se disponen de 40 horas para secar madera de clase 1, madera clase 2, o troncos, es el siguiente. Clase 1, 2 segundos, clase 2, 8 segundos, troncos, 1.3 segundos. Formule un PL para ayudar a Brady a minimizar los costos semanales para satisfacer las demandas de madera procesada.

Solución:

1. Definición de las variables de decisión:

T : Número de acres de tierra asignados para el frijol de soya.
PCL1: Número de pies cúbicos de madera comprada de clase 1 semanalmente.
PCL2 : Número de pies cúbicos de madera comprada de clase 2 semanalmente.


2. Elaboración de la función objetivo:

3. Formulación de las restricciones tecnológicas:

4. Modelo Lineal:

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Agricultura - Modelos con razonable grado de dificultad - Problema 2 de 10 - Investigación de Operaciones

Problema 2: Agricultura

Una familia de granjeros posee 100 acres de tierra y tiene $30000 en fondos disponibles para inversión. Sus miembros pueden producir un total de 3500 horas-hombre de mano de obra durante los meses de invierno (de mediados de septiembre a mediados de mayo), 4000 horas-hombre durante el verano. Si no se necesitan cualesquiera de estas horas-hombre, los miembros más jóvenes de la familia usarán para trabajar en una granja vecina por $4.00/hora, durante los meses de invierno, y $4.50/hora, durante el verano. 

El ingreso de efectivo puede obtenerse a partir de tres cultivos y dos tipos de animales: vacas lecheras y gallinas ponedoras. No se necesita invertir en los cultivos. Sin embargo, cada vaca requerirá un desembolso de $900 y cada gallina requerirá de $7. Cada vaca requerirá 1.5 acres de tierra, 100 horas-hombre de trabajo durante los meses de invierno, y otras 50 horas-hombre durante el verano. Cada vaca producirá un ingreso anual neto en efectivo de $800 para la familia. Los valores correspondientes para las gallinas son: nada de tierra, 0,6 horas hombre durante el verano y un ingreso anual neto en efectivo de $5. El gallinero puede acomodar un máximo de 300 gallinas y el tamaño del granero limita el rebaño a un máximo de 32 vacas. Las horas hombres y los ingresos estimados por acre plantado en cada uno de los tres cultivos se muestran en la siguiente tabla.

La familia desea saber cuántos acres deben plantarse en cada uno de cultivos y cuántas vacas y gallinas deben tener para maximizar su ingreso neto de efectivo.

Plantéese el modelo de programación lineal para este problema.

Solución:

1. Definición de las variables de decisión:

x₁ : Número de acres de tierra asignados para el frijol de soya.

x₂ : Número de acres de tierra asignados para el maíz.

x₃ : Número de acres de tierra asignados para la avena.

x₄ : Número de vacas.

x₅ : Número de gallinas.

x₆ : Horas-hombre ociosas en invierno.

x₇ : Horas-hombre ociosas en verano.

2. Elaboración de la función objetivo:

Minimizar z = 375x₁ + 550x₂ + 250x₃ + 800x₄ + 5x₅ + 4x₆ + 4.5x₇

3. Formulación de las restricciones tecnológicas:

4. Modelo Lineal:

Espero haber ayudado en algo. Hasta la próxima oportunidad!

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