Construcción - Modelos difíciles - Problema 5 de 5 - Investigación de Operaciones

Problema 5: Construcción - Corporación para el desarrollo del lago SADDLEBACK

LSDC está desarrollando una comunidad de casas y condominios en los alrededores del lago Saddleback, Texas. La idea es utilizar 300 acres de tierra de tal forma de maximizar sus ganancias ofreciendo una apropiada variedad de diferentes alternativas de casas constituyendo diferentes productos. Además, la corporación desea analizar la factibilidad de desarrollar 10 acres para un complejo deportivo y de recreación.

LSDC está ofreciendo 4 productos: (1) La serie Gran Estado (2) La colección Glen Wood (3) Casas con vista al lago y (4) casas en Condominio. Cada uno de estos productos tiene 4 planos con diferentes estilos, tal como se describe en la siguiente lista:

Tamaño de los lotes.

Todos los lotes incluyen el terreno donde se instalará la casa, el garage (el cual no está considerado dentro de los metros cuadrados de la casa) y espacio para jardín. Este no incluye el parking ni el espacio para parques, carreteras, etc.

Todos los modelos de la serie Gran Estado se construyen sobre lotes de 1 media-acre, y 50 medias-acre se usan exclusivamente por las casas Gran Estado. El precio de venta de estas casas tendrá un 30% adicional más US$50.000 que los modelos que no están en el lago. (Por ejemplo, el modelo Trump a US$700.000 se vendería en US$960.000 si se situara en el lago). Cada una de la serie Gran Estado debe tener al menos ocho unidades en el lago.

Algunos modelos Gran Ciprés (de la serie Glen Wood) podrían construirse sobre lotes “premiados” de un-cuarto-acre. Estas casas se venden en US$40.000 más que los modelos similares sobre lotes standards. Además, algunos de los modelos Bayview (en la serie vista al lago) pueden construirse sobre lotes “premiados” de un-sexto-acre, los cuales se venden en US$30.000 más del precio de los modelos construidos en terrenos standards. No más del 25% del total de los modelos Ciprés y 25% del total de los modelos Bayview se pueden construir en lotes “premiados”. 

Los tamaños de los lotes en el condominio son fijos y son de 1500 pie-cuadrados.

El lote mínimo standard para casas de la serie Glen Wood y con vista al lago (excepto los modelos “premiados”) es de un-décimo-acre. Los tamaños de los lotes para ciertos modelos pueden ser mayores si el siguiente cálculo excede a 1/10 acre.

Tamaño Lote= (Área de la Casa)+(Tamaño del Jardín)+(Tamaño del Garage).

Área de la Casa.

El área de la casa de cualquier casa de un piso es el metraje cuadrado del aviso de la casa. El área de la casa para casas de dos-pisos es de 75% del metraje cuadrado del aviso de la casa.

Área para Jardín.

Para casas de la serie Glen Wood, el jardín es de 1200 pies cuadrados para casas de un-piso y lo mismo que el área de la casa para casas con dos-pisos. Para casas con vista al lago el tamaño del jardín es 900 pies cuadrados para casas de un-piso. Para casas de dos-pisos de esta misma serie de casas el tamaño de jardín será de 600 pies cuadrados más 50% del área de la casa.

Tamaño del Garage.

Garage para dos autos ocupan 500 pies cuadrados de área y para tres autos ocupa 750 pies cuadrados. Note que los modelos en el condominio no tienen terreno para garage.

Parking.

La ley exige tener un espacio de parking por dormitorio para cada unidad construida. Por ejemplo, un espacio exterior de parking para dos autos es necesario para una casa de 4 dormitorios que posee un garage para dos autos. Cada parking exterior ocupará 200 pies cuadrados de espacio. Hasta un máximo de 15 acres del proyecto podrán utilizarse para parking exterior. Todos los parking del condominio son exteriores.

Carreteras, Parques...etc

Un total de 1000 pies cuadrados por casa se está pensando para la construcción de carreteras y pequeños parques para hacer el proyecto más agradable estéticamente hablando.

Variedad.

Como parte del proyecto se han definido ciertos requerimientos máximos y mínimos arrojados por el departamento de estudios de mercado (Condominio está incluido).

Además, ninguno de los cuatro productos (Gran Estado, Glen Wood, Vista al lago, y Condominio) pueden ser más que el 35% ni menos que el 15% de las unidades construidas en el desarrollo. Más aún, dentro de cada producto, cada plano debe ocupar entre 20% y 35% del total de unidades de ese producto. Por razones de estética hasta un máximo del 70% de las casas de un-piso (salvo las de condominio) pueden ser casas de dos-pisos.

Abordables.

En el área del lago cualquier casa avaluada en US$200.000 o menos es considerada “abordable”. El gobierno exige al menos 15% del proyecto pueda ser considerado como abordable.

Ganancias.

LSDC ha determinado los siguientes porcentajes de los precios de ventas como ganancias netas:

Objetivos.

LSDC necesita determinar el número de unidades de cada plano de cada producto a construir, de tal manera de maximizar sus ganancias.

Si LSDC construye un complejo de recreación y deportivo en 10-acres, esto podría reducir el área utilizable en 10-acres y a un costo de alrededor US$8 millones. Sin embargo, LSDC cree que esto puede cargarse al costo de las casas como sigue:

*Excepto para el modelo Golden Pier, es decir todavía puede ser catalogada como abordable.

Informe:

Prepare un informe detallado analizando este proyecto y haga sugerencias para la construcción. De recomendaciones si conviene o no construir el complejo deportivo. Haga un análisis apropiado de “qué sucede si..” (Análisis de sensibilidad) y haga un resumen de sus recomendaciones finales.

Consideraciones y supuestos.

Antes de resolver el problema es importante especificar la interpretación dada a algunas frases del enunciado del problema:

• Se entiende que cuando se habla de “1 media-acre” se está hablando de la mitad de un acre, es decir ½ acre. Es decir “50 medias-acre”, en términos de superficie son 25 acres.
• Cuando se dice que “50 medias-acres se usan exclusivamente por las casas Gran Estado”, se dice que sólo se destinarán 25 acres al total de casas de la serie Gran Estado, ni una acre más ni uno de menos. Esto se reflejará como una igualdad en una de las restricciones.
• La frase “el lote mínimo standard para casa de la serie Glen Wood y con vista al mar...”, suponemos que con “vista al mar” es en realidad con “vista al lago” y que se refiere al producto Vista al Lago, y no a que algunas casas de la serie Glen Wood tienen como propiedad tener vista al lago. Luego se entiende que la frase se refiere al tamaño del lote mínimo para casas de las series Glen Wood y Vista al Lago.
• Se supondrá también que cuando se habla del “aviso de la casa” se refiere a la información del primer cuadro del enunciado.
• Las manzardas no se considerarán como dormitorios (para el cálculo del parking).
• Los porcentajes que aparecen asociados a la variedad se trabajarán sobre el total de todas las casas.
• Para la condición asociada a la proporción de las casas de dos pisos frente a las de un piso, no se considerarán las casas del condominio de un piso, es decir sólo se considerarán las casas del condominio de dos pisos para esta restricción.
• Para la segunda parte, se considerará que los porcentajes que aparecen en la última tabla se refieren al valor (precio de venta) de las casas y no a un aumento porcentual exclusivamente de las utilidades de cada casa.
• Para llevar todo a un mismo sistema de unidades se utilizará la conversión: 1 acre = 43.560 ft² (pies cuadrados)

Planteamiento.

Para poder resolver el problema es importante visualizar en forma clara las distintas posibilidades para la construcción, esto se refiere no sólo a las 4 series y 15 planos distintos dados, sino que, también a las distintas posibilidades permitidas para cada plano. El análisis de las distintas posibilidades ayudará a determinar el número de variables de decisión con el objeto de resolver el problema vía programación lineal.

Similarmente es importante distinguir cada restricción observando el efecto que está produciendo, esto se refiere si tiene un efecto en la superficie utilizadas por las casas, cantidad de ellas, relaciones en cantidad de los distintos tipos, etc.

Solución:

1. Definición de las variables de decisión:

• Producto Gran Estado.

Cada plano tiene dos posibilidades: estar o no en el lago. Esto define 8 variables de decisión distintas.

• Producto Gleen Wood.

Existe una única posibilidad para cada plano a excepción de la Gran Ciprés, que puede ser o no premiada. Esto define 5 variables de decisión.

• Producto Vista al Lago.

Similarmente al producto anterior, existe un única posibilidad para cada plano a excepción de la Bayview, que puede ser o no premiada. Esto define 5 variables de decisión.

• Producto Condominio.

En este caso sólo se puede distinguir una posibilidad para cada plano. Esto define 3 variables.
En resumen se tiene 8+5+5+3=21 variables de decisión.
Para denominar cada posibilidad para cada casa con una variable se utilizará la siguiente convención:

El detalle de cada variable con los respectivos subíndices se encuentra en la Tabla1 de la siguiente página.

Antes de plantear las restricciones es conveniente plantear en forma ordenada las características de cada casa en cuanto a superficie que se le asigna en el proyecto, precio de venta, parking requeridos por esa casa, ganancia asociada a ella, características generales, etc. La forma más conveniente de presentar esta información es con la ayuda de una tabla (Tabla 1).

Siguiendo la nomenclatura descrita en la tabla procedemos a plantear el problema de programación lineal. En este caso como se dispone de las ganancias, se trata de un problema de maximización.


2. Elaboración de la función objetivo:

Nuestro objetivo es maximizar la ganancia, para esto multiplicamos las ganancias por las unidades de cada tipo de casa.

3. Formulación de las restricciones:

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Producción - Modelos difíciles - Problema 4 de 5 - Investigación de Operaciones

Problema 4: Producción - PLANEACION DE PRODUCCION DE CASSINELLI E HIJOS S.A.C

La empresa de bebidas gaseosas Enrique Cassinelli e Hijos S.A. es de origen trujillano, se dedica a la producción y comercialización de bebidas gaseosas Cassinelli, en diferentes presentaciones y sabores.

Su comercialización se realiza tanto en la ciudad de Trujillo como en la zona norte (Chiclayo, Piura, Talara) y nor Oriente (Bagua, Jaen, Tarapoto).

Actualmente Cassinelli tiene una participación en el mercado de Trujillo de 10%, Concordia 14%, Kola Real 11%, Triple Kola 13.4%, Inka Kola 13.8%, Coca Cola 14.2%, y el 23.6% corresponde a otras marcas.

Gaseosas Cassinelli posee un potencial para tener una importante participación en el mercado , ya que posee características que se ajustan a una bebida agradable y es percibida como una bebida regional ,sin embargo presenta una baja recordación por alojamiento de la marca del mercado, por lo que le hace perder preferencia ante otras marcas de gaseosas.

Por lo tanto la Gerencia General ha encomendado al Departamento de Producción realizar un plan de Producción para maximizar sus ganancias mensuales.

Como se menciono, la empresa Enrique Cassinelli e hijos se dedica a la fabricación de bebidas gaseosas, siendo las presentaciones comercializadas las que se demuestran a continuación:

La empresa en estudio cuenta con una planta de producción que opera las 48 horas a la semana. Esta planta tiene una capacidad de producción de 160,000 caja/mes.

El proceso de fabricación de estos productos se lleva a cabo en dos etapas (Áreas de trabajo)

1. En el Dpto. de Elaboración se realiza la preparación de jarabes el mismo que cuenta con 4 trabajadores permanentes.
2. En el Dpto. de Envasado se realiza trabajos inherentes al proceso de envasado y presentación final del producto. Este Dpto. cuenta con 15 trabajadores 

Las horas requeridas en ambos departamentos para producir 1000 cajas de cada uno de los productos mencionados en la Tabla 1.22, se muestran en la Tabla 1.23.

La demanda proyectada máxima para el mes de octubre 2002 se muestra en la siguiente Tabla 1.24

El Dpto. de Contabilidad de la empresa estima un margen de ganancia para cada producto, de:

La Gerencia ha solicitado determinar el Plan de Producción semanal óptimo para el mes de octubre 2002.

Para determinar el plan de producción óptimo, el objetivo general es elaborar un modelo lineal que permita hallar el plan de producción óptimo y como objetivos específicos tenemos que determinar la cantidad de cada tipo de gaseosa que se debe elaborar semanalmente y obtener la máxima utilidad en la producción de gaseosas Cassinelli.

Solución:

1. Definición de las variables de decisión:

Xij : Número de cajas a producir de gaseosa del tipo i = 1,2,3,4 (NR de 2.65 lt, NR de 1.75 lt, NR de 0.60 lt, VR de 0.296 lt) en la semana j =1,2,3,4 .

2. Elaboración de la función objetivo:

Maximizar el precio de venta*producción

3. Formulación de las restricciones tecnológicas:

Con la información de la producción de basura, capacidad de incineración y la capacidad máxima de recepción de ceniza de los botaderos, se construyen las restricciones del problema.

Espero haber ayudado en algo. Hasta la próxima oportunidad!

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Producción - Modelos difíciles - Problema 3 de 5 - Investigación de Operaciones

Problema 3: Producción

Silicon Valley Corporation (Silvco) fabrica transistores. Un aspecto importante en la fabricación de los transistores es fundir un elemento denominado G (germanium) en un horno. Lamentablemente el proceso de fundido varía mucho en cuanto a la calidad que se obtiene del elemento G. Hay dos métodos que se pueden usar para fundir el elemento G: el método 1 cuesta US$50 por transistor, y el método 2 US$70 por transistor. Las calidades del elemento se muestran en la tabla. Silvco puede realizar un proceso adicional para aumentar la calidad del elemento fundido. Este cuesta US$25 por transistor. Los resultados del proceso adicional se muestran en la tabla. Silvco tiene suficiente capacidad de horneado ya sea para fundir o hacer el retratamiento de a lo más 20000 transistores al mes. Las demandas mensuales son 1000 de transistores de nivel 4, 2000 del nivel 3, 3000 del nivel 2, y 3000 del nivel 1. Use programación lineal para minimizar el costo de producir los transistores que se requieren.

Donde Nivel 1 es pobre; nivel 4 es excelente. La calidad del transistor fabricado está en directa relación con

Solución:

Objetivo: el objetivo del problema es minimizar los costos involucrados en la producción de los transistores, satisfaciendo la demanda para cada nivel de ellos. Se considerarán dos métodos de producción además de un método de retratamiento para mejorar la calidad de dichos transistores. Para conseguir este objetivo se debe considerar las posibles decisiones que admite el problema:
La cantidad transistores a producir por el método 1 y por el método 2.
La cantidad transistores de cada nivel: 3, 2, 1 y los defectuosos que se envían a retratamiento con la esperanza de mejorar su nivel y con ello su precio. Evidentemente no tiene sentido enviar los transistores de nivel 4 al proceso adicional. Es importante considerar por separado los transistores provenientes de cada proceso.

Supuestos:
Los porcentajes entregados en las tablas son exactos o 100% confiables, es decir que si se fabrican 100 por el método 1 es seguro que 30 de ellos van a ser defectuosos, ni uno más ni uno menos. Se entiende también que se utilizará la misma consideración para los datos del proceso adicional.
Existe indiferencia entre los transistores de cada método, es decir que un transistor de un nivel dado producido por el método 1 es exactamente igual a uno del mismo nivel producido por el método 2.
Similarmente para el proceso adicional, no existe ninguna diferencia entre los transistores de un nivel dado proveniente de uno de los dos métodos de fabricación que los provenientes del retratamiento.
El objetivo es producir exactamente la cantidad demandada, ni uno de más ni uno de menos. Se considera además que los valores de esta demanda son 100% confiables.
Sólo se considerará que el proceso adicional se puede realizar una vez, es decir la decisión de cuantas variables mandar al retratamiento se realiza una vez.
No es necesario producir a plena capacidad (20000 transistores al mes), puede producirse esta cantidad o menos, la producción se ajustará al resultado de este estudio.
Como los datos entregados están referidos a un mes, el análisis se hará para este intervalo de tiempo, pero en términos de cantidades producidas al mes no de variables temporales propiamente tales.

1. Definición de las variables de decisión:

De acuerdo al objetivo y supuestos planteados, declaramos las variables de decisión del siguiente modo:

X1 : Cantidad de transistores producidos por el método 1.

X 2 : Cantidad de transistores producidos por el método 2.

Xij : Cantidad de transistores provenientes del método i =1,2 y de clase j = 0,1,2,3 que se envían a reprocesar.

Entendemos por clase j al nivel de fundido, considerando como defectuoso la clase “0”. 

Por otro lado, no tiene sentido reprocesar los transistores de nivel 4, por tal motivo el subíndice j sólo llega hasta 3.

2. Elaboración de la función objetivo:

Con las tablas de producción en porcentaje dadas y los costos de fabricación por unidad, se formula la función objetivo:

Observación: Todas las funciones y restricciones serán trabajadas en dólares.

3. Formulación de las restricciones tecnológicas:

Con la información de la producción de los distintos niveles por método, más la información de la producción por niveles del retratamiento, se construyen las restricciones del problema:

Cabe destacar que todas las variables deben ser positivas y enteras dado que representan número de unidades de transistores.

Espero haber ayudado en algo. Hasta la próxima oportunidad!

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Producción - Modelos difíciles - Problema 2 de 5 - Investigación de Operaciones

Problema 2: Producción

La ciudad 1 produce 500 toneladas de basura por día y la ciudad 2 produce 400 toneladas por día. La basura debe ser incinerada en los incineradores 1 ó 2, y cada incinerador puede procesar hasta 500 toneladas de basura por día. El costo de incinerar la basura es US$ 40/ton en el incinerador 1 y US$ 30/ton en el incinerador 2. La incineración reduce cada tonelada de basura a 0.2 toneladas de cenizas, las cuales deben ser llevadas a uno de dos depósitos. Cada depósito puede recibir a lo más 200 toneladas de cenizas por día. El costo es de US$ 3/milla para transportar una tonelada de material (ya sea ceniza o basura). Las distancias en millas se muestran en la tabla. 

Formule el problema de programación lineal que se puede usar para minimizar los costos.

Solución:

El objetivo del problema es minimizar los costos involucrados en el traslado e incineración de la basura. Este costo está asociado al costo de transporte (función de la distancia) y al costo de incinerar (función del incinerador y la cantidad). Para conseguir este objetivo se debe considerar las posibles decisiones que admite el problema: 

La cantidad de basura a trasladar desde cada ciudad (1 y 2) a cada uno de los incineradores (1 y 2).

La cantidad de ceniza a trasladar desde cada incinerador (1 y 2) a cada uno de los botaderos (1 y 2).

Para esto, asumimos algunos supuestos y características:

• Toda la basura producida en un día debe ser incinerada durante ese mismo día.
• Los botaderos no cobran por recibir las cenizas.
• Existe indiferencia en escoger el incinerador 1 ó 2 con relación a cualquier variable que no sea el costo por tonelada incinerada.
• El costo de transporte es una función exclusiva de la distancia recorrida, dejando de lado cualquier otro factor.
• La decisión se tomará exclusivamente desde el punto de vista de los costos.
• El análisis se realizará en el período de un día, dado los datos entregados.

1. Definición de las variables de decisión:

De acuerdo al objetivo y los supuestos planteados, determinamos las siguientes variables de decisión:

X_ij : Cantidad de basura en toneladas transportada desde la ciudad i = 1,2 hasta el incinerador j = 1,2 .

Y_ij : Cantidad de ceniza en toneladas transportada desde el incinerador i = 1,2 hasta el botadero j = 1,2 .

2. Elaboración de la función objetivo:

Con la tabla de distancias dadas y los costos de incineración, se plantea la función objetivo:

3. Formulación de las restricciones tecnológicas:

Con la información de la producción de basura, capacidad de incineración y la capacidad máxima de recepción de ceniza de los botaderos, se construyen las restricciones del problema

Cabe destacar que todas las variables deben ser positivas y no necesariamente enteras dado que representan peso de basura o de ceniza. Es importante agregar también dos condiciones relativas a que cada tonelada de basura que entra al incinerador es transformada en 0.2 toneladas de ceniza, luego:

Las condiciones anteriores pueden ser agregadas al problema como dos restricciones más, o bien despejar dos de ellas en función de otras tres, de modo de reducir el problema a un total de seis variables.

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Producción - Modelos difíciles - Problema 1 de 5 - Investigación de Operaciones

Problema 1: Producción

Gracias a una adecuada estrategia de marketing y a la calidad del producto, cierta pequeña fábrica de canastos de mimbre ha recibido pedidos que superan su actual capacidad de producción. Durante las próximas cuatro semanas debe entregar 52, 65, 70 y 85 canastos, respectivamente. Actualmente cuenta con seis artesanos.

La gerencia general de la fábrica ha decidido contratar personal nuevo para poder cumplir sus compromisos comerciales. Dada la escasez de artesanos, se deberá contratar personal sin experiencia. Un novato puede ser entrenado para llegar a ser aprendiz durante una semana. 

La segunda semana trabaja como aprendiz para ganar experiencia. Comenzando la tercera semana (después de dos semanas de trabajo) se transforma en artesano.

La producción estimada y sueldos de los empleados es la siguiente:

Cada artesano puede entrenar hasta dos novatos por semana (el entrenamiento de un novato sólo dura una semana). Todo excedente de producción semanal puede ser guardado para cumplir los siguientes compromisos comerciales.

Los analistas de la empresa estiman que la demanda semanal de canastos difícilmente superará los noventa canastos, por lo que han decidido terminar el período sin novatos y aprendices, pero con al menos nueve artesanos. Los reglamentos sindicales de la empresa prohíben los despidos por reducción de personal.

Formule un modelo de programación lineal que permita definir las contrataciones a realizar, de modo de cumplir los compromisos comerciales a costo mínimo.

Solución:

Para resolver el problema se utilizarán las siguientes variables de decisión:

1. Definición de las variables de decisión:

x_ij : Personal de tipo i =1,2,3,4 (artesano productor, artesano instructor, aprendiz y novato respectivamente) trabajando en semana j = 1,2,3,4 .

z_j : Sobreproducción de semana j =1,2,3,4.

Variable secundaria:

α_i : Salario del empleado del tipo i =1,2,3,4.

2. Elaboración de la función objetivo:

Se debe de cumplir con los compromisos a costo mínimo.

3. Formulación de las restricciones tecnológicas:

Espero haber ayudado en algo. Hasta la próxima oportunidad!

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