Producción - Modelos con poco grado de dificultad - Problema 13 de 13 - Investigación de Operaciones

Problema 13: Energía

Cada semana Florida Citrus, Inc., usa una sola máquina durante 150 horas para destilar jugo de naranja y de toronja en concentrados, estos jugos están almacenados en dos tanques separados de 1000 galones cada uno antes de congelarlos. La máquina puede procesar 25 galones de jugo de naranja por hora, pero sólo 20 galones de jugo de toronja. Cada galón de jugo de naranja cuesta $1.50 y pierde 30% de contenido de agua al destilarse en concentrado.

El concentrado de jugo de naranja se vende después en $6 por galón, cada galón de jugo de toronja cuesta $2 y pierde 25% de contenido de agua al destilarse en concentrado. El concentrado de jugo de toronja se vende después en $8 por galón. Formule un modelo de PL para determinar un plan de producción que maximice la ganancia para la siguiente semana.

Solución:

1. Definición de las variables de decisión:

xi : Cantidad de galones de jugo i = 1,2 (naranja, toronja) a usar en la producción.

2. Elaboración de la función objetivo:

Maximizar utilidades = Precio de Venta - Costos

3. Formulación de las restricciones tecnológicas:

4. Modelo Lineal:

Espero haber ayudado en algo. Hasta la próxima oportunidad!

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Energía - Modelos con poco grado de dificultad - Problema 12 de 13 - Investigación de Operaciones

Problema 12: Energía

El departamento de energía de Lilliput actualmente está en el proceso de desarrollar un plan nacional de energía para el año siguiente. Lilliput puede generar energía de cualquiera de cinco fuentes. Carbón, gas natural, materiales nucleares, proyectos hidroeléctricos y petróleo. 

Los datos sobre los recursos de energía, las capacidades de generación medidas en Megawatthoras (MW-hr), y los costos unitarios de generación se dan en la siguiente tabla. 

Lilliput necesita 50 000 MW-hr de energía de uso doméstico, y el país tiene un compromiso para producir 10 000MW-hr para exportación. Más aún, a fin de conservar los recursos de energía y proteger el ambiente, el gobierno ha aprobado las siguientes regulaciones.

1. La generación proveniente de materiales nucleares no debe exceder 20% de la energía total generada por Lilliput.

2. Debe utilizarse al menos 80% de la capacidad de las plantas de carbón.

3. Los efluentes que salen a la atmósfera no deben exceder los límites especificados en la siguiente tabla.

4. La cantidad de energía generada a partir de gas natural debe ser al menos 30% de la generada a partir del petróleo.

Formule un programa lineal para determinar un plan de energía de costo mínimo.

Solución:

1. Definición de las variables de decisión:

CUD: Mw-h producido por Carbón de uso domestico.

CUE : Mw-h producido por Carbón de uso externo.

GNUD: Mw-h producido por Gas natural de uso domestico.

GNUE : Mw-h producido Gas natural de uso externo.

NUD : Mw-h producido Nuclear de uso domestico.

NUE : Mw-h producido Nuclear de uso externo.

HUD : Mw-h producido Hidroeléctrica de uso domestico.

HUE : Mw-h producido Hidroeléctrica de uso externo.

PUD : Mw-h producido Petróleo de uso domestico.

PUE : Mw-h producido Petróleo de uso externo.

2. Elaboración de la función objetivo:

3. Formulación de las restricciones tecnológicas:

4. Modelo Lineal:

Espero haber ayudado en algo. Hasta la próxima oportunidad!

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Abastecimiento - Modelos con poco grado de dificultad - Problema 11 de 13 - Investigación de Operaciones

Problema 11: Abastecimiento

La Fargo Water Co. tiene tres depósitos con una entrada diaria estimada de 15, 20 y 25 millones de litros de agua fresca, respectivamente. Diariamente tiene que abastecer cuatro áreas A, B, C y D, las cuales tienen una demanda esperada de 8, 10, 12 y 15 millones de litros, respectivamente.

Costo de bombeo por millón de litros

Formule el problema de la Fargo Water Co. como un modelo de programación lineal. Asuma que el exceso de agua no representa un costo para la compañía.

Solución:

1. Definición de las variables de decisión:

x_ij : Millones de litros de agua que se trasladan desde el depósito i =1,2,3 hacia el área j = a,b,c,d

2. Elaboración de la función objetivo:

3. Formulación de las restricciones tecnológicas:

4. Modelo Lineal:

Espero haber ayudado en algo. Hasta la próxima oportunidad!

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Mezcla - Modelos con poco grado de dificultad - Problema 10 de 13 - Investigación de Operaciones

Problema 10: Mezcla

La Georgia Outdoors Company fabrica tres tipos de combinaciones energéticas de semillas que se venden a mayoristas los cuales a su vez los venden a expendios al menudeo. Los tres tipos son normal, especial y extra, y se venden en $1.50, $2.20 y $3.50 por libra, respectivamente. Cada mezcla requiere los mismos ingredientes: maní, pasas y algarrobo. Los costos de estos ingredientes son:

• Maní: $0.90 por libra
• Pasas: $1.60 por libra
• Algarrobo: $1.50 por libra

Los requerimientos de las mezclas son: 

• Normal: cuando menos 5% de cada ingrediente.
• Especial: cuando menos 20% de cada ingrediente y no más de 50% de cualquiera de ellos.
• Extra: cuando menos 25% de pasas y no más de 25% de maní.

Las instalaciones de producción hacen que haya disponibles por semana un máximo de 1000 libras de maní, 2000 de pasas y 3000 de algarrobo. Existe un costo fijo de $2000 para la fabricación de las mezclas. Existe también la condición de que la mezcla normal debe limitarse al 20% de la producción total. Plantee un problema de PL para maximizar las utilidades.

Solución:

1. Definición de las variables de decisión:

x_ij : Cantidad de libras a utilizar del ingrediente i =1,2,3 (maní, pasas, algarrobo) para elaborar la mezcla tipo j =1,2,3(normal, especial, extra)

2. Elaboración de la función objetivo:

3. Formulación de las restricciones tecnológicas:

4. Modelo Lineal:

Espero haber ayudado en algo. Hasta la próxima oportunidad!

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Agricultura - Modelos con poco grado de dificultad - Problema 9 de 13 - Investigación de Operaciones

Problema 9: Agricultura

Una cooperativa agrícola grande del suroeste de los Estados Unidos de Norteamérica opera cuatro granjas. La producción de cada granja está limitada por la cantidad de agua disponible para irrigación y por el número de acres disponibles para cultivo. Los datos de la Tabla 1 describen las granjas. Normalmente, la cooperativa cultiva 3 tipos de productos, aunque cada una de las granjas no necesariamente cultiva todos ellos. Debido a la limitación en la disponibilidad de equipo para cosechar, existen restricciones sobre el número de acres de cada producto que se cultivan en cada granja. Los datos de la Tabla 2 reflejan el máximo de acres de cada cultivo que pueden producirse en cada granja. El agua que se requiere (expresada en millares de pies cúbicos por acre) para los respectivos cultivos son: 6, 5 y 4. Las utilidades que se proyectan por acre para cada uno de los tres cultivos son $500, $350 y $200, respectivamente.

Para mantener una carga de trabajo equilibrada entre las 4 granjas, la cooperativa ha adoptado la política de hacer que en cada granja se cultive un porcentaje igual de terreno disponible. Plantee un modelo de PL que permita a la cooperativa determinar la cantidad (acres) de cada cultivo que deben plantarse en cada granja para que se maximice la utilidad total.

Solución:

1. Definición de las variables de decisión:

X_ij : Número de acres a sembrar en la granja i = 1,2,3,4 con el cultivo j = A,B,C.

2. Elaboración de la función objetivo:

Maximizar z = ($500 /acres)(X_1A + X_2A + X_3A + X_4A) acres  + ($350 /acres)(X_1B + X_2B + X_3B + X_4B) acres + ($200 /acres)(X_1C + X_2C + X_3C + X_4C) acres

3. Formulación de las restricciones tecnológicas:

• Cantidad máxima de acre en cada granja para cada cultivo:

X_1A acres <= 200 acres
X_1B acres <= 150 acres
X_1C acres <= 200 acres
X_2A acres <= 300 acres
X_2B acres <= 200 acres
X_2C acres <= 350 acres
X_3A acres <= 100 acres
X_3B acres <= 150 acres
X_3C acres <= 200 acres
X_4A acres <= 250 acres
X_4B acres <= 100 acres
X_4C acres <= 300 acres

• No negatividad:

X_1A >= 0


4. Modelo Lineal:

Finalmente podemos expresar el modelo lineal de la siguiente manera:

Max z = $500(X_1A + X_2A + X_3A + X_4A)  + $350 (X_1B + X_2B + X_3B + X_4B) + $200(X_1C + X_2C + X_3C + X_4C) 

sujeto a :

X_1A  <= 200 

X_1B  <= 150 

X_1C  <= 200 

X_2A  <= 300 

X_2B  <= 200 

X_2C  <= 350 

X_3A  <= 100 

X_3B  <= 150 

X_3C  <= 200 

X_4A  <= 250 

X_4B  <= 100 

X_4C  <= 300 

Espero haber ayudado en algo. Hasta la próxima oportunidad!

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Juegos - Modelos con poco grado de dificultad - Problema 8 de 13 - Investigación de Operaciones

Problema 8: Producción

Un matemático desea distribuir fichas de valor entre 1 y 6 en un tablero de 3 filas y 3 columnas, con tal que la suma de éste, de 6, ¿Cuál debe ser el valor de cada ficha a colocar con tal que se cumpla el objetivo propuesto?

Solución:

1. Definición de las variables de decisión:

x_ij : Valor de la ficha de la fila i = 1,2,3 y la columna j =1,2,3.

2. Elaboración de la función objetivo:

Minimizar z = x₁₁+ x₁₂+ x₁₃+ x₂₁+ x₂₂+ x₂₃+ x₃₁+ x₃₂+ x₃₃

3. Formulación de las restricciones tecnológicas:

• Filas: 

x₁₁+ x₁₂+ x_{13 = 6}
x₂₁+ x₂₂+ x_{23 = 6}
x₃₁+ x₃₂+ x_{33 = 6}

• Columnas:

x₁₁+ x₂₁+ x_{31 = 6}
x₁₂+ x₂₂+ x_{32 = 6}
x₁₃+ x₂₃+ x_{33 = 6}

• Valores

1 <= x₁₁ <= 6
1 <= x₁₂ <= 6
1 <= x₁₃ <= 6
1 <= x₂₁ <= 6
1 <= x₂₂ <= 6
1 <= x₂₃ <= 6
1 <= x₃₁ <= 6
1 <= x₃₂ <= 6
1 <= x₃₃ <= 6

• No negatividad

x_ij >= 0

4. Modelo Lineal:

Finalmente podemos expresar el modelo lineal de la siguiente manera:

Min z = x₁₁+ x₁₂+ x₁₃+ x₂₁+ x₂₂+ x₂₃+ x₃₁+ x₃₂+ x₃₃

sujeto a: 

x₁₁+ x₁₂+ x_{13 = 6}

x₂₁+ x₂₂+ x_{23 = 6}

x₃₁+ x₃₂+ x_{33 = 6}

1 <= x₁₁ <= 6

1 <= x₁₂ <= 6

1 <= x₁₃ <= 6

1 <= x₂₁ <= 6

1 <= x₂₂ <= 6

1 <= x₂₃ <= 6

1 <= x₃₁ <= 6

1 <= x₃₂ <= 6

1 <= x₃₃ <= 6

x_ij >= 0 ; ∀_i = 1,2,3 ; ∀_j = 1,2,3

Espero haber ayudado en algo. Hasta la próxima oportunidad!

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Producción - Modelos con poco grado de dificultad - Problema 7 de 13 - Investigación de Operaciones

Problema 7: Producción

Química S.A. diluye cada litro de ácido sulfúrico concentrado con 20 litros de agua destilada para producir H2SO4. De manera similar, cada litro de ácido clorhídrico concentrado se diluye con 30 litros de agua destilada para producir HCL. Estos dos productos son vendidos a escuelas de segunda enseñanza a $0.10 por botella de 100 mililitros (esto es, 0.1 litros). La compañía actualmente tiene 50000 botellas vacías en inventario. Suponga que existe una cantidad virtualmente ilimitada de agua destilada que cuesta $0.15 por litro.

Costos y suministros

Formule un modelo para determinar la cantidad de cada ácido concentrado por diluir para maximizar las ganancias totales.

1. Definición de las variables de decisión : 

x₁ : Número de litros de H2SO4 concentrado

x₂ : Número de litros de HCL concentrado

y₁ : Número de litros de agua para concentrado de H2SO4

y₂ : Número de litros de agua para concentrado de HCL

p₁ : Número de litros de H2SO4 para venta

p₂ : Número de litros de HCL para venta

2. Elaboración de la función objetivo : 

Maximizar z = ($0.10 / 0.10 litros )p₁ litros + ($0.10 / 0.10 litros )p₂ litros - (($0.15 / 1 litros)(y₁ + y₂) litros ) - (($12 / 1 litros)x₁ litros) - (($18 / 1 litros)x₂ litros)

3. Formulación de las restricciones tecnológicas: 

• Cantidad de H2SO4:

x₁ <= 200

• Cantidad de HCL:

x₂ <= 150

• Cantidad de botellas:

(1 botella/0.1 litro)(x₁ + y₁)litro + (1 botella/0.1 litro)(x₂ + y₂)litro <= 50000 botellas

• Proporción:

x₁ / y₁ = 1/20

x₂ / y₂ = 1/30

• Producción

p₁ = x₁ + y₁

p₂ = x₂ + y₂

• Restricciones de no negatividad

Dado que las variables de decisión sólo pueden tomar valores no negativos, tenemos que x₁, x₂, y₁, y₂, p₁, p₂ >= 0 .

4. Modelo Lineal:

Finalmente podemos expresar el modelo lineal de la siguiente manera:

Max z = 0.1p₁ + 0.1p₂ - 0.15(y₁ + y₂) - 12x₁ - 18x₂

sujeto a :

x₁ <= 200

x₂ <= 150

10(x₁ + y₁) + 10(x₂ + y₂) <= 50000

20x₁ - y₁ = 0

30x₂ - y₂ = 0

p1 = x₁ + y₁

p2 = x₂ + y₂

x₁, x₂, y₁, y₂, p₁, p₂ >= 0 

Espero haber ayudado en algo. Hasta la próxima oportunidad!

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Mezcla - Modelos con poco grado de dificultad - Problema 6 de 13 - Investigación de Operaciones

Problema 6: Mezcla

Un viñedo desea mezclar cuatro cosechas diferentes para producir tres tipos de vino mezclado. Se establecen restricciones al porcentaje de la composición de las mezclas.  Se puede vender cualquier cantidad de la mezcla B y de la mezcla C pero a la mezcla A se le considera una mezcla de alta calidad y por consiguiente no se venden más de 50 galones. Elabore un modelo de PL que hará el mejor uso de las cosechas con que se cuenta.

Composición de las mezclas

Solución:

1. Definición de las variables de decisión : 

Xij: Cantidad de galones a utilizar de la vendimia i = 1,2,3,4 para la elaboración de la mezcla j = A,B,C

2. Elaboración de la función objetivo : 

Maximizar z = $70/gal (X_1A + X_2A + X_3A + X_4A)gal + $40/gal (X_1B + X_2B + X_3B + X_4B)gal + $30/gal (X_1C + X_2C + X_3C + X_4C)gal 

3. Formulación de las restricciones tecnológicas: 

• Mezcla A  

La siguiente expresión X_1A + X_2A + X_3A + X_4A , representa la cantidad producida en galones de la mezcla A, dado que está compuesta por la mezcla de 4 cosechas diferentes como se muestra en la tabla de variables.  Así la expresión por lo menos 75% de la mezcla A debe contener de las cosechas 1 y 2,  queda expresada del siguiente modo: 

(X_1A + X_2A)gal >= 0.75(X_1A + X_2A + X_3A + X_4A)gal

Del mismo modo, la expresión cuando más 50% de la mezcla A debe contener de la vendimia 4, la expresión queda: 

X_4A gal <= 0.50(X_1A + X_2A + X_3A + X_4A)gal

Finalmente, la mezcla A se le considera una mezcla de alta calidad y por consiguiente no se venden más de 50 galones: (Observación válida de Roger Parra Torres)

(X_1A + X_2A + X_3A + X_4A)gal <= 50 gal

• Mezcla B 

En la expresión por lo menos 35% de la mezcla B, debe contener de las vendimias 1 y 2, la expresión es: .

(X_1B + X_2B)gal >= 0.35(X_1B + X_2B + X_3B + X_4B)gal

• Mezcla C 

La expresión cuando más el 40% de la mezcla C debe contener de la vendimia  4, la expresión es: 

X_4C gal <= 0.40(X_1C + X_2C + X_3C + X_4C)gal

• Oferta de la vendimia 1 

Se tiene en oferta 180 galones, por tanto tenemos la siguiente restricción:

(X_1A + X_1B + X_1C )gal <= 180 gal

• Oferta de la vendimia 2 

(X_2A + X_2B + X_2C )gal  <= 250 gal

• Oferta de la vendimia 3 

(X_3A + X_3B + X_3C )gal <= 200 gal

• Oferta de la vendimia 4 

(X_4A + X_4B + X_4C )gal  <= 400 gal

• Restricciones de no negatividad 

Dado que las variables de decisión sólo pueden tomar valores no negativos, tenemos que Xij >= 0 ; ∀i = 1,2,3,4 ; ∀j = A,B,C

4. Modelo Lineal:

Finalmente podemos expresar el modelo lineal de la siguiente manera :

Max z = $70/gal (X_1A + X_2A + X_3A + X_4A)gal + $40/gal (X_1B + X_2B + X_3B + X_4B)gal + $30/gal (X_1C + X_2C + X_3C + X_4C)gal 

sujeto a :

- 0.25X_1A - 0.25 X_2A + 0.75X_3A + 0.75X_4A <= 0

-0.5X_1A - 0.5X_2A - 0.5X_3A + 0.5X_{4A <= 0}

- 0.65X_1B - 0.65X_2B + 0.35X_3B + 0.35X_{4B <= 0}

- 0.4X_1C - 0.4X_2C - 0.4X_3C + 0.6X_{4C <= 0}

(X_1A + X_1B + X_1C )gal <= 180 gal

(X_2A + X_2B + X_2C )gal  <= 250 gal

(X_3A + X_3B + X_3C )gal <= 200 gal

(X_4A + X_4B + X_4C )gal  <= 400 gal

Xij >= 0 ; ∀i = 1,2,3,4 ; ∀j = A,B,C

Espero haber ayudado en algo. Hasta la próxima oportunidad!

Personal - Modelos con poco grado de dificultad - Problema 5 de 13 - Investigación de Operaciones

Problema 5: Personal

Un cierto restaurante opera 7 días a la semana.  A las camareras se les contrata para trabajar 6 horas diarias. El contrato del sindicato especifica que cada camarera tiene que trabajar 5 días consecutivos y después tener 2 días consecutivos de descanso. Cada camarera recibe el mismo sueldo semanal. En la Tabla 1.12 se presentan las necesidades de contratación por cantidad de horas. Supóngase que este ciclo de necesidades se repite en forma indefinida y no toma en cuenta el hecho de que el número de camareras contratadas tiene que ser un número entero. El gerente desea encontrar un programa de empleo que satisfaga estas necesidades a un costo mínimo. Formule este problema como un programa lineal.

Necesidades de contratación de camareras según la cantidad de horas.

Solución: 

1. Definición de las variables de decisión: 

Xi: Camareras que ingresan a trabajar el día i = L, M, Mi, J, V, S, D (lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado y domingo) 

2. Elaboración de la función objetivo: 

Minimizar z = X_L + X_M + X_Mi + X_J + X_V + X_S + X_D 

3. Formulación de las restricciones tecnológicas: 

Para construir las restricciones del problema, utilizamos la siguiente tabla, en la cual se muestra los días en las que están presentes las camareras según el día que comienzan a trabajar.  (Por ejemplo; las camareras que inician sus labores el día viernes trabajan hasta el martes, descansando los días miércoles y jueves)

• Restricción del día lunes:

6 (X_L +  X_J + X_V + X_S + X_D ) >= 150

• Restricción del día martes:

6 (X_L + X_M + X_V + X_S + X_D ) >= 200

• Restricción del día miércoles:

6 (X_L + X_M + X_Mi + X_S + X_D ) >= 400

• Restricción del día jueves:

6 (X_L + X_M + X_Mi + X_J + X_D ) >= 300

• Restricción del día viernes:

6 (X_L + X_M + X_Mi + X_J + X_V ) >= 700

• Restricción del día sábado:

6 (X_M + X_Mi + X_J + X_V + X_S ) >= 800

• Restricción del día domingo:

6 (X_Mi + X_J + X_V + X_S + X_D ) >= 300

• Restricciones de no negatividad

Dado que las variables de decisión sólo pueden tomar valores no negativos, tenemos que Xi >= 0 ;
∀i = L, M, Mi, J, V, S, D

4. Modelo Lineal:  

Finalmente podemos expresar el modelo lineal de la siguiente manera :

Min z = X_L + X_M + X_Mi + X_J + X_V + X_S + X_D 

sujeto a :

6 (X_L +  X_J + X_V + X_S + X_D ) >= 150

6 (X_L + X_M + X_V + X_S + X_D ) >= 200

6 (X_L + X_M + X_Mi + X_S + X_D ) >= 400

6 (X_L + X_M + X_Mi + X_J + X_D ) >= 300

6 (X_L + X_M + X_Mi + X_J + X_V ) >= 700

6 (X_M + X_Mi + X_J + X_V + X_S ) >= 800

6 (X_Mi + X_J + X_V + X_S + X_D ) >= 300

 Xi >= 0 ; ∀i = L, M, Mi, J, V, S, D

Espero haber ayudado en algo. Hasta la próxima oportunidad!