Mezcla - Modelos con poco grado de dificultad - Problema 6 de 13 - Investigación de Operaciones

Problema 6: Mezcla

Un viñedo desea mezclar cuatro cosechas diferentes para producir tres tipos de vino mezclado. Se establecen restricciones al porcentaje de la composición de las mezclas.  Se puede vender cualquier cantidad de la mezcla B y de la mezcla C pero a la mezcla A se le considera una mezcla de alta calidad y por consiguiente no se venden más de 50 galones. Elabore un modelo de PL que hará el mejor uso de las cosechas con que se cuenta.

Composición de las mezclas

Solución:

1. Definición de las variables de decisión : 

Xij: Cantidad de galones a utilizar de la vendimia i = 1,2,3,4 para la elaboración de la mezcla j = A,B,C

2. Elaboración de la función objetivo : 

Maximizar z = $70/gal (X_1A + X_2A + X_3A + X_4A)gal + $40/gal (X_1B + X_2B + X_3B + X_4B)gal + $30/gal (X_1C + X_2C + X_3C + X_4C)gal 

3. Formulación de las restricciones tecnológicas: 

• Mezcla A  

La siguiente expresión X_1A + X_2A + X_3A + X_4A , representa la cantidad producida en galones de la mezcla A, dado que está compuesta por la mezcla de 4 cosechas diferentes como se muestra en la tabla de variables.  Así la expresión por lo menos 75% de la mezcla A debe contener de las cosechas 1 y 2,  queda expresada del siguiente modo: 

(X_1A + X_2A)gal >= 0.75(X_1A + X_2A + X_3A + X_4A)gal

Del mismo modo, la expresión cuando más 50% de la mezcla A debe contener de la vendimia 4, la expresión queda: 

X_4A gal <= 0.50(X_1A + X_2A + X_3A + X_4A)gal

Finalmente, la mezcla A se le considera una mezcla de alta calidad y por consiguiente no se venden más de 50 galones: (Observación válida de Roger Parra Torres)

(X_1A + X_2A + X_3A + X_4A)gal <= 50 gal

• Mezcla B 

En la expresión por lo menos 35% de la mezcla B, debe contener de las vendimias 1 y 2, la expresión es: .

(X_1B + X_2B)gal >= 0.35(X_1B + X_2B + X_3B + X_4B)gal

• Mezcla C 

La expresión cuando más el 40% de la mezcla C debe contener de la vendimia  4, la expresión es: 

X_4C gal <= 0.40(X_1C + X_2C + X_3C + X_4C)gal

• Oferta de la vendimia 1 

Se tiene en oferta 180 galones, por tanto tenemos la siguiente restricción:

(X_1A + X_1B + X_1C )gal <= 180 gal

• Oferta de la vendimia 2 

(X_2A + X_2B + X_2C )gal  <= 250 gal

• Oferta de la vendimia 3 

(X_3A + X_3B + X_3C )gal <= 200 gal

• Oferta de la vendimia 4 

(X_4A + X_4B + X_4C )gal  <= 400 gal

• Restricciones de no negatividad 

Dado que las variables de decisión sólo pueden tomar valores no negativos, tenemos que Xij >= 0 ; ∀i = 1,2,3,4 ; ∀j = A,B,C

4. Modelo Lineal:

Finalmente podemos expresar el modelo lineal de la siguiente manera :

Max z = $70/gal (X_1A + X_2A + X_3A + X_4A)gal + $40/gal (X_1B + X_2B + X_3B + X_4B)gal + $30/gal (X_1C + X_2C + X_3C + X_4C)gal 

sujeto a :

- 0.25X_1A - 0.25 X_2A + 0.75X_3A + 0.75X_4A <= 0

-0.5X_1A - 0.5X_2A - 0.5X_3A + 0.5X_{4A <= 0}

- 0.65X_1B - 0.65X_2B + 0.35X_3B + 0.35X_{4B <= 0}

- 0.4X_1C - 0.4X_2C - 0.4X_3C + 0.6X_{4C <= 0}

(X_1A + X_1B + X_1C )gal <= 180 gal

(X_2A + X_2B + X_2C )gal  <= 250 gal

(X_3A + X_3B + X_3C )gal <= 200 gal

(X_4A + X_4B + X_4C )gal  <= 400 gal

Xij >= 0 ; ∀i = 1,2,3,4 ; ∀j = A,B,C

Espero haber ayudado en algo. Hasta la próxima oportunidad!