Problema 6: Mezclas
Pearce Dears, un antiguo entrenador de grupos de choque, se ha convertido en avicultor.
Desea alimentar a sus animales en forma tal que se cubran sus necesidades de nutrición a un costo mínimo. Pearce está estudiando el uso de maíz, soya, avena y alfalfa. En la siguiente tabla se muestra la información dietética importante por libra de grano (por ejemplo, 1 libra de maíz proporciona 15 miligramos de proteína). Elabore un modelo de PL para determinar la mezcla dietética que satisfaga los requisitos diarios a un costo mínimo.
Tabla: Nutrientes por libra de grano
Solución:
1. Definición de las variables de decisión:
xi : Cantidad de libras de i = 1,2,3,4 (maíz, soya, avena y alfalfa respectivamente) a comprar.
2. Elaboración de la función objetivo:
El costo total se obtiene multiplicando el costo por libra con la cantidad de libras compradas. Obteniendo así, un costo total de 70x1 + 45x2 + 40x3 + 90x4 . Finalmente tenemos la siguiente función objetivo:
Minimizar z = 70x1 + 45x2 + 40x3 + 90x4
3. Formulación de las restricciones tecnológicas:
- Restricción de proteínas.
Dado que, cada libra de maíz aporta con 15 mg de proteínas entonces la cantidad total aportada por el maíz es de 15x1 , de forma similar se obtienen las cantidades aportadas por la soya, la avena y la alfalfa; obteniendo la siguiente restricción:
15x1 + 30x2 +15x3 + 7x4 >= 50
- Restricción de calcio.
40x1 + 10x2 + 40x3 + 45x4 >= 150
- Restricción de grasas.
20x1 + 50x2 + 8x3 + 25x4 >= 25
20x1 + 50x2 + 8x3 + 25x4 <= 120
- Restricción de calorías.
850x1 + 1500x2 + 1200x3 + 4000x4 >= 5000
- Restricciones de no negatividad
Dado que las variables de decisión sólo pueden tomar valores no negativos, tenemos que
x1 , x2 , x3 , x4 >= 0
4. Modelo Lineal:
Finalmente podemos expresar el modelo lineal de la siguiente manera:
Minimizar z = 70x1 + 45x2 + 40x3 + 90x4
sujeto a:
15x1 + 30x2 +15x3 + 7x4 >= 50
40x1 + 10x2 + 40x3 + 45x4 >= 150
20x1 + 50x2 + 8x3 + 25x4 >= 25
20x1 + 50x2 + 8x3 + 25x4 <= 120
15x1 + 30x2 +15x3 + 7x4 >= 50
40x1 + 10x2 + 40x3 + 45x4 >= 150
20x1 + 50x2 + 8x3 + 25x4 >= 25
20x1 + 50x2 + 8x3 + 25x4 <= 120
850x1 + 1500x2 + 1200x3 + 4000x4 >= 5000
x1 , x2 , x3 , x4 >= 0
x1 , x2 , x3 , x4 >= 0
Espero haber ayudado en algo. Hasta la próxima oportunidad!
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Creo que el signo de la cuarta restricción debería ser "< =" ya que dice que es un tope máximo de grasas... el resto muy bien, ha sido de mucha ayuda. GRACIAS
ResponderEliminarHola Print Solutions, gracias por la visita y el aporte de tu comentario.
EliminarTienes razón, corregiré el signo...
Los mejores deseos!! Hasta cualquier momento!
podrias explicarme porque dos restricciones de grasas porfa
ResponderEliminarHola Anónimo, gracias por la visita y el aporte de tu consulta!
EliminarExisten dos restricciones porque como bien verás en la table, se indica que como necesidades se necesita las grasas como mínimo 25 mg y máximo 120 mg. Entonces llevando esas dos reglas a una ecuación lineal, el resultado es :
20x1 + 50x2 + 8x3 + 25x4 >= 25
20x1 + 50x2 + 8x3 + 25x4 <= 120
Los mejores deseos!
Un avicultor, desea alimentar a sus animales en forma tal que se cubran sus necesidades de nutrición a un costo mínimo. El avicultor está estudiando el uso de maíz, soya, avena y alfalfa. En la figura 2.38 se muestra la información dietética importante, por libra de grano. (Por ejemplo, 1 libra de maíz proporciona 15 miligramos de proteína). Elaboren un modelo PL para determinar la mezcla dietética que satisfará los requisitos diarios a un costo mínimo.
ResponderEliminarFIGURA #4. Nutrientes por libra de grano
Nutriente
Maíz
Soya
Avena
Alfalfa
Necesidades
diarias
Proteína (mg)
15
30
15
7
Mínimo 50 mg
Calcio (mg)
40
10
40
45
Maximo 150 mg
Grasas (mg)
20
50
8
25
Mínimo 25 mg
Calorías
850
1500
1200
4000
Maximo 5000 calorías
Costo por Libra ($)
70
45
40
90
2. Convertir el modelo primal a modelo Dual y encontrar la solucion de ambos problemas
Max 3x1 + 5x2 +4x3 = 0
sa: x1 + 2x2 + x3 <= 30
x1 + 3x2 +2 x3 <= 10
x1,x2,x3 >= 0
Hola Lau, gracias por compartir el ejercicio propuesto.
EliminarEsperemos que alguien pueda compartir la solución. SAludos!