Ingeniería Systems: Producción - Modelos con razonable grado de dificultad - Problema 1 de 10

Problema 1: Producción

Se está diseñando un vehículo espacial para llevar astronautas a Marte y traerlos de regreso.

Este vehículo tendrá tres compartimentos, cada uno con su propio sistema de mantenimiento de la vida independiente. El elemento clave en cada uno de estos sistemas es una pequeña unidad oxidante que provoca un proceso químico para producir oxigeno. Sin embargo, no pueden probarse con anticipación y solo se logra algo en provocar este proceso químico. Por lo tanto, es importante tener unidades de apoyo para cada sistema. En virtud de la diferencia en los requerimientos para los tres compartimentos, las unidades que se necesitan para cada uno tienen características un tanto diferentes. Ahora debe tomarse una decisión sobre cuantas unidades proporcionar a cada compartimento, tomando en cuenta las limitaciones de diseño sobre la cantidad total de espacio, peso y costo que pueden ser asignadas a estas unidades en relación con la nave completa. La Tabla siguiente se resume estas limitaciones así como las características de las unidades individuales por cada compartimento.

Tabla: Espacio, peso y probabilidades de fallas en los compartimientos

Si todas las unidades fallan en solo uno o dos de los compartimentos, los astronautas pueden ocupar el compartimento, o los compartimentos restantes y continuar su viaje espacial pero con cierta perdida en la cantidad de información científica que puede ser obtenida. Sin embargo, si todas las unidades fallan en los tres compartimentos, entonces los astronautas todavía pueden regresar la nave con seguridad, pero el viaje en conjunto debe ser completamente abortado a gran costo. Por lo tanto, el objetivo es minimizar la probabilidad de que esto ocurra, sujeto a las limitaciones antes mencionadas y a la restricción adicional de que cada compartimento tenga una probabilidad de no más del 0.05 de que todas sus unidades fallen. Plantéese el modelo de programación lineal para este problema. (Sugerencia: úsense logaritmos)

Solución:

1. Definición de las variables de decisión:

x_i : Número de unidades de apoyo en el compartimento i =1,2,3 .

2. Elaboración de la función objetivo:

Prob (compart. 1) Prob (compart. 2) Prob (compart. 3)

Dado que dicho objetivo no es lineal, debemos linealizar dicha función objetivo, para esto utilizamos las propiedades de los logaritmos, tomando Z = ln z , obtenemos