viernes, 21 de julio de 2017

Características de un problema de optimización lineal - 3 de 3

Ejemplo 7. 

YEMITO S.A fabrica dos productos P1 y P2 . El ingreso unitario del producto P1 es de 1000 soles y el ingreso unitario del producto P2 es de 1800 soles. La empresa utiliza 20 horas para fabricar una unidad del producto P1 y 30 horas para fabricar una unidad de P2 . El tiempo anual de producción disponible es de 1200 horas. La demanda esperada para cada producto es de 40 unidades de anuales para P1 y 30 unidades anuales para P2.

¿Cuál es el plan de producción para que la empresa maximice sus ingresos?. Construya un modelo de programación lineal para este caso y resuelva con el método grafico. 

Solución.

1. Definición de las variables de decisión:

P1 : Cantidad producida del producto 1.
P2 : Cantidad producida del producto 2.

Una vez declaradas las variables de decisión, debemos expresar la función objetivo utilizando dichas variables.

2. Elaboración de la función objetivo:

Dado que queremos maximizar los ingresos, nuestra función objetivo será maximizar 
z = 1000P1 + 1800P2 

3. Formulación de las restricciones tecnológicas:
  • Restricción de tiempo
Como disponemos de 1200 horas para la fabricación de los productos, podemos representar la restricción como sigue: 20P1 + 30P2 <= 1200 
  • Restricciones de demanda
P1 <= 40
P2 <= 30
  • Restricciones de no negatividad
Dado que las variables de decisión sólo pueden tomar valores no negativos, tenemos que P1 >= 0 y P2 >= 0 

4. Modelo final:

Finalmente podemos expresar el modelo lineal de la forma siguiente


Paso 1: Construcción de la región factible
Graficamos los ejes coordenados e interceptamos los semiplanos correspondientes a cada una de las restricciones.


Paso 2: Determinación de la solución optima.
Graficamos la recta que corresponde a la función objetivo que pasa por un punto (x1, x2) = (10,10) perteneciente a la región factible. Entonces tenemos un valor de z = 1000(10) + 1800(10) = 28000, así tenemos la recta 1000P1 + 1800P2 = 28000.

Por otro lado debemos determinar la dirección en la que la función objetivo aumenta. Por tal motivo calculamos el valor del vector gradiente de la función objetivo.


Este vector es perpendicular a la recta 1000P1 + 1800P2 = 28000 y a partir de allí nos desplazaremos paralelamente siguiendo la dirección del vector gradiente, hasta que esta sea tangente a la región factible.


Podemos ver que la recta con el menor valor para z que sea tangente a la región factible, es aquella recta que pasa por el punto (15,30) que está ubicado en la intersección de las rectas 20P1 + 30P2 = 1200 y la recta P2 = 30, generando un ingreso máximo de z = 1000P1 + 1800P2 = 1000(15) + 1800(30) = 69000


Espero haber ayudado en algo. Hasta la próxima oportunidad!










  

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