domingo, 9 de julio de 2017

Características de un problema de optimización lineal - 1 de 3

Al resolver los problemas de optimización lineal, nos podemos encontrar con las siguientes características

1. Soluciones múltiples óptimas.

Un problema de optimización lineal tendrá múltiples soluciones óptimas cuando la recta objetivo es tangente a la región factible a lo largo de un segmento de recta correspondiente a alguna restricción.

Ejemplo 3. Retomando el Ejemplo 1, supongamos que por motivos de mercado se incrementa el valor de los sensores electrónicos y la utilidad generada por un Ben10 baja de $4 a $3.


Podemos ver que la región factible sigue siendo la misma, el cambio se dio en la función objetivo.

Determinamos la dirección de crecimiento de la función objetivo, para esto calculamos el vector gradiente. 

Podemos ver que la última recta tangente a la región factible, contiene el segmento de recta correspondiente a la recta de la restricción 3x1 + x2 <= 12. 
Por tal motivo, todos los puntos que pertenecen a este segmento de recta son las soluciones óptimas del problema.

Por ejemplo, los siguientes puntos son soluciones del problema

(x1, x2) = (0,12) -> z = 3(0) + 12 = 12
(x1, x2) = (1,9) -> z = 3(1) + 9 = 12

Podemos observar en la Figura 14, que la pendiente de la función objetivo, coincide con la pendiente de la segunda restricción del problema, esto indica que las rectas son paralelas.


2. Problema lineal no factible.

Un Problema Lineal será no factible si ésta es vacía. Es decir no contiene soluciones factibles, y como una solución óptima es la mejor solución factible, diremos que el problema no tiene solución óptima.

Ejemplo 4. Si al problema del Ejemplo 1 le adicionamos restricciones de demanda de cada artículo, es decir, supongamos que se tiene una demanda mínima de 3 juguetes Ben10 y una demanda mínima de 19 juguetes DinoRey.


Como podemos ver, no existe algún punto que satisface todas las restricciones, esto quiere decir que la región factible es vacía y el Problema Lineal es no factible.


3. Solución no acotada (ilimitada).

Es una solución factible dentro de una región factible no acotada o ilimitada.

Ejemplo 5. Suponga que la disponibilidad de recursos en cuanto a sensores electrónicos y mano de obra, son mayores o iguales a 18 y 12 respectivamente.

Si trazamos la recta de la función objetivo que pasa por el punto (1,9), es decir, la recta 4x1 + x2 = 13, al trasladar esta recta en forma paralela siguiendo la dirección del vector gradiente .

Podemos ver la recta intercepta ilimitadamente la región factible. Por lo tanto, existen puntos de la región factible que generan valores extremadamente grandes a la función objetivo. Por ejemplo si (x1, x2 ) = (10000,10000) tenemos z = 4(10000) + 10000 = 50000, pero existirá otro punto de la región factible (x1, x2) = (100000,100000) que genere un mayor valor z = 4(100000) + 100000 = 500000. Por tal motivo se dice que la región factible es no acotada o ilimitada, generando que la función objetivo aumento ilimitadamente.


4. Solución degenerada

Es una solución factible en la que alguna variable de decisión toma el valor de cero.


5. Restricciones redundantes

Son aquellas restricciones que de algún modo no representan ningún aporte al problema a optimizar.


Espero haber ayudado en algo. Hasta la próxima oportunidad!









  

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