domingo, 16 de julio de 2017

Características de un problema de optimización lineal - 2 de 3

Ejemplo 6. Para una buena alimentación, el cuerpo necesita de vitaminas y proteínas.

La necesidad mínima de vitaminas es de 32 unidades por día y la de proteínas es de 36 unidades por día. Una persona tiene disponible carne y huevos para alimentarse. Cada kilo de carne contiene 4 unidades de vitaminas y 6 unidades de proteínas. Cada huevo contiene 8 unidades de vitaminas y 6 unidades de proteínas. ¿Cuál es la cantidad de carne y huevos que debe ser consumida para cubrir las necesidades de vitaminas y proteínas con el menor costo posible? Cada kilo de carne cuesta 7 soles y cada huevo cuesta 0.5 soles.

Solución:

En primer lugar representamos la información brindada en forma tabular para una fácil comprensión del problema

1. Definición de las variables de decisión:

x1 : Cantidad en kilos de carne a consumir.
x2 : Cantidad de huevos a consumir.

Una vez declaradas las variables de decisión, debemos expresar la función objetivo utilizando dichas variables.

2. Elaboración de la función objetivo:

Dado que queremos minimizar los costos para cubrir las necesidades diarias mínimas requeridas, y sabemos que cada kilo de carne cuesta 7 soles y cada huevo cuesta 0.5 soles. Por tanto si queremos obtener el menor costo, nuestra función objetivo será minimizar z = 7x1 + 0.5x2 .

3. Formulación de las restricciones tecnológicas:
  • Restricción de cantidades mínimas de vitaminas

Podemos ver que el requisito mínimo de vitaminas es 32 unidades, vemos que cada kilo de carne aporta 4 unidades de vitaminas y cada huevo aporta con 8 unidades de vitaminas
Por tanto podemos representar la siguiente restricción 4x1 + 8x2 >= 32 .
  • Restricción de cantidades mínimas de proteínas

Del mismo modo, construimos la restricción que corresponde a las cantidades mínimas de proteínas, cada kilo de carne aporta 6 unidades de proteínas y cada huevo aporta con 6 unidades de vitaminas. Por tanto podemos representar la siguiente restricción 6x1 + 6x2 >= 36
  • Restricciones de no negatividad

Dado que las variables de decisión sólo pueden tomar valores no negativos, tenemos que x1 >= 0 y x2 >= 0 .

4. Modelo final:

Finalmente podemos expresar el modelo lineal de la forma siguiente


Paso 1: Construcción de la región factible

Trazamos los ejes coordenados con las variables x1 y x2 . Enseguida trazamos cada una de las restricciones. La primera restricción del problema es 4x1 + 8x2 >= 32 , y para determinar el semiplano graficamos la recta 4x1 + 8x2 = 32 . Podemos notar que el punto (x1, x2) = (1,1) está ubicado por debajo de la recta y además no cumple con la desigualdad. Por tanto el semiplano correspondiente a la restricción está por encima de la recta.


De manera similar determinamos la región correspondiente a la segunda restricción 6x1 + 6x2 >= 36 . Tabulamos dos puntos para graficar la recta 6x1 + 6x2 = 36 , seleccionamos el punto (1,1) ubicado por debajo de la recta y como no satisface la desigualdad, entonces el semiplano correspondiente a la restricción está por encima de la recta.


Sabemos que las restricciones de no negatividad, x1 >= 0 , x2 >= 0 gráficamente corresponde al primer cuadrante del plano cartesiano.

Finalmente para determinar la región factible interceptamos las regiones de las restricciones respectivas.


Paso 2: Determinación de la solución optima.

En primer lugar debemos graficar la recta que corresponde a la función objetivo que pasa por un punto (x1, x2) perteneciente a la región factible.

Sea (x1, x2) = (10,6) , entonces tenemos un valor de z = 7(10) + 0.5(6) = 73, así tenemos la recta 7x1 + 0.5x2 = 73 .

Por otro lado debemos determinar la dirección en la que la función objetivo disminuye. Para esto debemos hacer uso del gradiente negativo, dado que este vector indica la dirección de decrecimiento de una función de varias variables. En este caso debemos seguir la dirección del vector gradiente negativo de la función objetivo.


Este vector es perpendicular a la recta 7x1 + 0.5x2 = 73 y a partir de allí nos desplazaremos paralelamente siguiendo la dirección del vector gradiente negativo, hasta que esta sea tangente a la región factible.

Como z = 7x1 + 0.5x2 tenemos que

Podemos ver que la recta con el menor valor para z que es tangente a la región factible, es aquella recta que pasa por el punto (0,6) dando como valor mínimo z = 7x1 + 0.5x2 = 7(0) + 0.5(6) = 3.

Por tanto, si no consumimos carne x1 = 0 y consumimos 6 huevos, x2 = 6 satisfacemos los requerimientos mínimos de vitaminas y proteínas con un costo mínimo de 3 soles.

Por otro lado, podemos ver que al ser sustituidos en cada una de las restricciones tenemos

(Requerimiento de vitaminas) 4(0) + 8(6) = 48 >= 32
(Requerimiento de proteínas) 6(0) + 6(6) = 36 >= 36

Esto nos indica que la restricción de proteínas fue saturada, mientras que la restricción de vitaminas es no saturada.


Espero haber ayudado en algo. Hasta la próxima oportunidad!









  

No hay comentarios:

Publicar un comentario

       

Etiquetas

Academy (23) Accediendo a datos con ADO .NET (31) Acceso a la red (30) Algoritmo (34) Algoritmos en JAVA (2) Ampliación de clases (2) APRENDA A PROGRAMAR COMO SI ESTUVIERA EN PRIMERO - Autores : IKER AGUINAGA (3) APRENDA A PROGRAMAR COMO SI ESTUVIERA EN PRIMERO - Autores : IKER AGUINAGA (10) Aprendiendo a desarrollar en Windows 8 (5) Aprendiendo UML en 24 Horas (Autor : Joseph Schmuller ) (30) Arquitectura (29) Arquitectura del Computador (3) Arquitectura del Computador - Historia de la informática (1) Asignación de direcciones IP (23) Aspectos fundamentales de bases de datos (5) Auditoría de la dirección (2) Auditoría de Sistemas (3) Auditoría Informática - Un enfoque práctico - Mario G . Piattini y Emilio del Peso (7) Avanzado (23) Base de Datos (67) Básico (23) Bios (29) Business Productivity Online Suite - BPOS (3) Capa de Red (22) Capa de Transporte (16) Capítulo 1 - Documentos HTML5 (6) Capítulo 10. API Web Storage (2) Capítulo 11. API IndexedDB (4) Capítulo 12. API File (1) Capítulo 2. Estilos CSS y modelos de caja (7) Capítulo 3. Propiedades CSS3 (4) Capítulo 4. Javascript (6) Capítulo 5. Video y audio (6) Capítulo 6. Formularios y API Forms (8) Capítulo 7. API Canvas (5) Capítulo 8. API Drag and Drop (2) Capítulo 9. API Geolocation (2) CCNA1 v5.0 (212) CCNA1 v6.0 (23) CCNA2 v5.0 (26) CCNA3 v5.0 (25) CCNA4 v5.0 (23) CD-ROM (3) Chapter 1 How does Xamarin.Forms fit in? (7) Chapter 2 Anatomy of an app (5) Cisco (314) Cloud Computing (3) CNNA v5.0 Routing & Switching (233) CNNA v6.0 Routing & Switching (2) Codigo (2) Computadora (32) Configuración (29) Configuración de un sistema operativo de red (21) Control (29) Creación de tipos de datos y tablas (3) Creación y Administración de bases de datos (3) Creando la Interface de la Aplicación Windows (50) Creating Mobile Apps with Xamarin.Forms (13) Cuenta (29) Curso (32) Curso Aprendiendo a Programar (25) Datos (3) Desarrollando en Windows 8 - AVANZADO (2) Desarrollando en Windows 8 - BÁSICO (3) Desarrollando en Windows 8 - INTERMEDIO (2) Desarrollo (2) Desarrollo .Net (21) Desarrollo avanzado de Windows Store Apps usando C# (1) Desarrollo basado en conceptos de Ingeniería de Software para Visual Studio (2) DESARROLLO DE APLICACIONES WINDOWS CON MICROSOFT .NET (37) DESARROLLO DE APLICACIONES WINDOWS CON MICROSOFT .NET (Autor: Luis Dueñas Huaroto) (29) Desarrollo en Microsoft Visual Studio (44) Desarrollo en Microsoft Visual Studio - AVANZADO (15) Desarrollo en Microsoft Visual Studio - BÁSICO (14) Desarrollo en Microsoft Visual Studio - INTERMEDIO (18) Desarrollo en Windows Phone 8 (13) Diagnostico (4) Diagrama (3) Diagramas de actividades (2) Diagramas de colaboraciones (2) Diagramas de secuencias (2) Digital (2) Diplomado (2) Disco (29) Disco Duro (4) Diseño de aplicaciones de Windows 8 en HTML 5 (7) Dispositivos Electrónicos (11) Doctorado (2) Ejemplos (3) Ejemplos de algoritmos (27) El camino hacia el CSS3 (3) El diseño web flexible (6) El elemento de diseño Canvas (3) El enfoque de los sistemas (3) El flujo de un programa (2) El gran libro de HTML5 - CSS3 y Javascript - Autor: Juan Diego Gauchat (55) El principio de organicidad (7) Electrónica (2) Elementos de un sistema (5) Empresas (2) Entrada y salida (4) Entropía y neguentropía (7) Estrategia (2) Estructura de un programa Java (12) Estructuras de almacenamiento (10) Estructuras de control (6) Estructuras de las tablas en SQL Server (2) Estructuras fundamentales de los datos (2) Ethernet (21) Evolución y Familias de los Microprocesadores (15) Exámen (23) Exploración de la red (23) Extensión de clases (4) Facebook (4) Familia Intel (15) Forefront (8) Función (3) Funciones de una red (12) Funciones de una red informática (1) Fundamentos de C# para absolutos principiantes (17) Fundamentos de programación en Java (50) Generaciones de la computadora (5) Gestión (3) Gestión de riesgos - Auditoría de Sistemas (1) GONZALO MARTÍNEZ (1) Grupos Facebook (1) Harvard (29) Historia de las computadoras (11) HTML5 y CSS3 - Autor: Christophe Aubry (99) HTML5 y CSS3 aplicadal texto (7) HTML5 y CSS3 para los formularios (15) Imágenes (2) Implementación de Windows 7 (11) Información (31) Informática (29) Ingeniería (4) Instalar (29) Inteligencia (2) Inteligencia de Negocios con SQL Server (3) Intermedio (23) Internet (29) Internet Explorer 9 (3) Introducción a ASP.NET 5 (8) Introducción a Java (7) Introducción a jQuery (8) Introducción a la Auditoría de Sistemas (2) Introducción a la teoría general de sistemas (Oscar Johansen Bertoglio) (39) Introducción a Networking (2) Introducción a Window Forms (5) Introducción al acceso a datos con ADO .NET (9) Investigación de Operaciones (12) Java (52) Jump Start de consultas en las bases de datos de Microsoft SQL Server 2012 (8) La definición de un Sistema (6) La evolución del HTML y del CSS (3) La nueva sintaxis HTML5 (12) LA QUINTA DISCIPLINA en la práctica (Autor : Peter Senge) (28) Las animaciones en CSS3 (5) Las transformaciones CSS3 (11) Las transiciones con CSS3 (8) Licenciamiento Microsoft (3) Local Area Network (LAN) - Red de Area Local (2) Lógico (2) Los elementos de la estructura en html5 (9) Los elementos multimedia: audio y vídeo (2) Los estilos de caja en CSS3 (13) Los nuevos selectores de CSS3 (6) Maestría (2) Mantenimiento de Mouse y Teclado (2) Manual de Microsoft SQL Server - Full Transact SQL (68) Manual de soporte técnico para escuelas sobre windows 7 (42) Marco Teorico de Investigación de Operaciones (6) Medios de Almacenamiento (11) Medios de Networking (2) Mejorando la Interface de las Aplicaciones Windows (26) Memoria Tipos y Clases (5) Método (2) Metodología (1) Microsoft (324) Microsoft Lync 2010 (7) Microsoft Silverlight 4.0 (2) Microsoft Virtual Academy (356) Modelo (2) Modelo OSI y TCP-IP (2) Modelos con poco grado de dificultad de Programación Lineal - Investigación de Operaciones (13) Modelos con razonable grado de dificultad de Programación Lineal - Investigación de Operaciones (10) Modelos de desafio de Programación Lineal - Investigación de Operaciones (5) Modelos difíciles de Programación Lineal - Investigación de Operaciones (5) Modelos Fáciles de Programación Lineal - Investigación de Operaciones (13) Modelos lineales con solver (3) Modulo (23) Movimiento (2) Mozilla (29) MS SQL Server (77) MS Virtualization para Profesionales VMware - Gestión (3) MS Virtualization para Profesionales VMware- Plataforma (4) MVA (263) Negocio (2) Nivel Avanzado Desarrollo .Net (6) Nivel Básico Desarrollo .Net (11) Nivel Intermedio Desarrollo .Net (8) Normas técnicas peruanas y su evolución - Auditoría de Sistemas (1) Nube Privada - Avanzado (6) Nube Privada - Básico (6) Nube Privada - Intermedio (6) Office 365 (3) Optimización de Escritorio (10) Optimización de Escritorio - Avanzado (4) Optimización de Escritorio - Básico (3) Optimización de Escritorio - Intermedio (3) ORACLE 10g - ADMINISTRACIÓN Y ANÁLISIS (3) Oracle 10g y el Grid Computing (3) Organización aleatoria y secuencial (1) Partes principales de la Mainboard (12) Perceptron (2) Perfil (2) Periféricos de Entrada / Salida (15) Pesi (2) PHP y MySQL - Manual de aprendizaje para crear un sitio web - Autor : Olivier ROLLET (79) Plan (2) Plataforma (29) PMBOK (24) PMBOK - Guía de los fundamentos para la dirección de proyectos (24) PMBOK - INFLUENCIA DE LA ORGANIZACIÓN Y CICLO DE VIDA DEL PROYECTO (6) PMBOK - Introducción (11) PMBOK - PROCESOS DE LA DIRECCIÓN DE PROYECTOS (5) Prevención - Herramientas e Instrumentos de Medida (9) Principios básicos de enrutamiento y switching (186) Proceso (2) Proceso de auditoría de sistemas informáticos (2) Programación en Android - Auor : Salvador Gómez Oliver (46) Programación paso a paso de C# - Autor : Nacho Cabanes (16) Protocolos y comunicaciones de red (17) Proyecto (2) Qué es un sistema (4) Red de Área Local Inalámbrica (WLAN) (4) Redes (30) Redes inalámbricas - WIRELESS - Conocimiento general (15) Redes neuronales (2) Redes y Comunicaciones (45) Reparación de Fuentes - UPS - Estabilizadores (10) Reparación de Impresoras (9) Reparación de Monitores (16) Router (29) Seguridad en la Nube (3) Seminario (23) Server (24) Sharepoint 2010 - Nivel Básico (6) Sharepoint 2010 - Niveles Avanzados (18) Sharepoint 2010 - Niveles Avanzados - Básico (8) Sharepoint 2010 - Niveles Avanzados - Intermedio (9) Sinergia y recursividad (4) Sistema (33) Sistema de Cableado Estructurado (9) Software (30) SOLUCIÓN GRÁFICA DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEALES - INVOPE (8) Soporte a Infraestructura (3) SQL (38) SQL Azure - Introducción (3) Subsistemas de control (4) Tablas (4) Tarjeta Principal del Sistema (10) Tarjetas de Interfaces (7) Tecnología (31) Tecnologías LAN (1) TEORÍA GENERAL DE SISTEMAS (1) Tic (2) Tipo (2) TML5 y CSS3 - Autor: Christophe Aubry (12) Trabajando con el Formulario (7) Un diseño HTML5/CSS3: dConstruct 2011 (3) Un diseño HTML5/CSS3: FlipThru (2) Un diseño HTML5/CSS3: The Cat Template (2) Usando Controles Windows Forms (12) Usando Herramientas de Datos de Visual Studio (6) Ventas (2) Virtualización Hyper - V Nivel Básico (5) Virtualización Hyper - V Nivel Intermedio (5) What’s New in Windows 8.1 Security (4) Window (29) Windows 7 Segunda Fase - AVANZADO (4) Windows 7 Segunda Fase - BÁSICO (6) Windows 7 Segunda Fase - INTERMEDIO (4) Windows 8 - Vista Previa (4) Windows 8.1 To Go (2) Windows Azure (3) Windows Phone 7 (2) Windows Server 2008 R2 (3) Windows Server 2012 - Gestión y Automatización (3) Windows Server 2012 R2 Essentials (7) Windows Server 2012: Almacenamiento (5) Windows Server 2012: Identidad y Acceso (4) Windows Server 2012: Revisión Técnica (7) Xamarin (1)

Páginas vistas en total según Google