domingo, 16 de julio de 2017

Características de un problema de optimización lineal - 2 de 3

Ejemplo 6. Para una buena alimentación, el cuerpo necesita de vitaminas y proteínas.

La necesidad mínima de vitaminas es de 32 unidades por día y la de proteínas es de 36 unidades por día. Una persona tiene disponible carne y huevos para alimentarse. Cada kilo de carne contiene 4 unidades de vitaminas y 6 unidades de proteínas. Cada huevo contiene 8 unidades de vitaminas y 6 unidades de proteínas. ¿Cuál es la cantidad de carne y huevos que debe ser consumida para cubrir las necesidades de vitaminas y proteínas con el menor costo posible? Cada kilo de carne cuesta 7 soles y cada huevo cuesta 0.5 soles.

Solución:

En primer lugar representamos la información brindada en forma tabular para una fácil comprensión del problema

1. Definición de las variables de decisión:

x1 : Cantidad en kilos de carne a consumir.
x2 : Cantidad de huevos a consumir.

Una vez declaradas las variables de decisión, debemos expresar la función objetivo utilizando dichas variables.

2. Elaboración de la función objetivo:

Dado que queremos minimizar los costos para cubrir las necesidades diarias mínimas requeridas, y sabemos que cada kilo de carne cuesta 7 soles y cada huevo cuesta 0.5 soles. Por tanto si queremos obtener el menor costo, nuestra función objetivo será minimizar z = 7x1 + 0.5x2 .

3. Formulación de las restricciones tecnológicas:
  • Restricción de cantidades mínimas de vitaminas

Podemos ver que el requisito mínimo de vitaminas es 32 unidades, vemos que cada kilo de carne aporta 4 unidades de vitaminas y cada huevo aporta con 8 unidades de vitaminas
Por tanto podemos representar la siguiente restricción 4x1 + 8x2 >= 32 .
  • Restricción de cantidades mínimas de proteínas

Del mismo modo, construimos la restricción que corresponde a las cantidades mínimas de proteínas, cada kilo de carne aporta 6 unidades de proteínas y cada huevo aporta con 6 unidades de vitaminas. Por tanto podemos representar la siguiente restricción 6x1 + 6x2 >= 36
  • Restricciones de no negatividad

Dado que las variables de decisión sólo pueden tomar valores no negativos, tenemos que x1 >= 0 y x2 >= 0 .

4. Modelo final:

Finalmente podemos expresar el modelo lineal de la forma siguiente


Paso 1: Construcción de la región factible

Trazamos los ejes coordenados con las variables x1 y x2 . Enseguida trazamos cada una de las restricciones. La primera restricción del problema es 4x1 + 8x2 >= 32 , y para determinar el semiplano graficamos la recta 4x1 + 8x2 = 32 . Podemos notar que el punto (x1, x2) = (1,1) está ubicado por debajo de la recta y además no cumple con la desigualdad. Por tanto el semiplano correspondiente a la restricción está por encima de la recta.


De manera similar determinamos la región correspondiente a la segunda restricción 6x1 + 6x2 >= 36 . Tabulamos dos puntos para graficar la recta 6x1 + 6x2 = 36 , seleccionamos el punto (1,1) ubicado por debajo de la recta y como no satisface la desigualdad, entonces el semiplano correspondiente a la restricción está por encima de la recta.


Sabemos que las restricciones de no negatividad, x1 >= 0 , x2 >= 0 gráficamente corresponde al primer cuadrante del plano cartesiano.

Finalmente para determinar la región factible interceptamos las regiones de las restricciones respectivas.


Paso 2: Determinación de la solución optima.

En primer lugar debemos graficar la recta que corresponde a la función objetivo que pasa por un punto (x1, x2) perteneciente a la región factible.

Sea (x1, x2) = (10,6) , entonces tenemos un valor de z = 7(10) + 0.5(6) = 73, así tenemos la recta 7x1 + 0.5x2 = 73 .

Por otro lado debemos determinar la dirección en la que la función objetivo disminuye. Para esto debemos hacer uso del gradiente negativo, dado que este vector indica la dirección de decrecimiento de una función de varias variables. En este caso debemos seguir la dirección del vector gradiente negativo de la función objetivo.


Este vector es perpendicular a la recta 7x1 + 0.5x2 = 73 y a partir de allí nos desplazaremos paralelamente siguiendo la dirección del vector gradiente negativo, hasta que esta sea tangente a la región factible.

Como z = 7x1 + 0.5x2 tenemos que

Podemos ver que la recta con el menor valor para z que es tangente a la región factible, es aquella recta que pasa por el punto (0,6) dando como valor mínimo z = 7x1 + 0.5x2 = 7(0) + 0.5(6) = 3.

Por tanto, si no consumimos carne x1 = 0 y consumimos 6 huevos, x2 = 6 satisfacemos los requerimientos mínimos de vitaminas y proteínas con un costo mínimo de 3 soles.

Por otro lado, podemos ver que al ser sustituidos en cada una de las restricciones tenemos

(Requerimiento de vitaminas) 4(0) + 8(6) = 48 >= 32
(Requerimiento de proteínas) 6(0) + 6(6) = 36 >= 36

Esto nos indica que la restricción de proteínas fue saturada, mientras que la restricción de vitaminas es no saturada.


Espero haber ayudado en algo. Hasta la próxima oportunidad!









  

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